Sonstiges XOR mit 3 Eingägne in Boolscher Algebra

[litlegerman]

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Moin ich brauche dringend eure Hilfe.
Ich habe die Aufgabe bekommen einen XOR mit 3 Eingängen in Boolscher Algebra abzubilden, das habe ich auch so weit hinbekommen:
Eingänge: X1, X2, X3 Ausgang: Y
Lösung: im Anhang

die Nächste Aufgabe bekomm ich aber leider nicht hin, es ist gefordert von 12 Kontakten auf 10 zu vereinfachen.
kann mir da einer helfen?

 

[kiar]

Moin,
bei zwei oder mehr Eingänge auf 1 muss Y = 0 sein. Das trifft aber bei Dir nicht zu.

Raik

 

[litlegerman]

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Moin,
Die Aufgabenstellung war, wenn eine ungerade Zahl an Eingängen eine 1 anliegt soll der Ausgang 1 liefern sonst 0

Ich dachte das entspricht einem XOR mit 3 Eingängen

 

[roger34]

Dann wäre ja es einfacher die Eingänge zu addieren und das Bit 0 auszumaskieren.(UND mit 1)

 

[litlegerman]

Dann wäre ja es einfacher die Eingänge zu addieren und das Bit 0 auszumaskieren.(UND mit 1)​

und wie sähe das dann in der Algebra aus

 

[oliver.tonn]

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War Blödsinn.

 

[PN/DP]

Du hast 4 geklammerte UND-Ausdrücke. Du kannst aus Deiner zweiten und dritten Klammer das ¬X3 und aus Deiner ersten und vierten Klammer das X3 ausklammern. Dann hast Du nur noch 10 Operanden.

Y = (((X1 V ¬X2) Λ (¬X1 V X2)) V ¬X3) Λ ( ..... )

Bildlich gesprochen: Bei der Verknüpfung von 2 Operanden gibt es 4 mögliche Fälle, davon
- 2 Fälle, wo die XOR-Verknüpfung von X1 und X2 1 ergibt - bei denen muß X3 0 sein
- 2 Fälle, wo die XOR-Verknüpfung von X1 und X2 0 ergibt - bei denen muß X3 1 sein

Hinweis: Eine XOR-Verknüpfung mit mehr als 2 Eingängen kann als eine Kaskadierung von 2-Eingangs-XOR realisiert werden. Es werden zunächst 2 Operanden XOR-Verknüpft und danach das Ergebnis mit dem nächsten Operanden XOR-Verknüpft u.s.w.

Nachtrag:
Bei obiger Formel hatte ich die Operatoren-Zeichen verwechselt. Richtig wäre Λ=UND und V=ODER und die Formel:

Y = (((X1 Λ ¬X2) V (¬X1 Λ X2)) Λ ¬X3) V (((¬X1 Λ ¬X2) V (X1 Λ X2)) Λ X3)

Harald

 

[Heinileini]

Die Aufgabenstellung war, wenn eine ungerade Zahl an Eingängen eine 1 anliegt soll der Ausgang 1 liefern sonst 0

Na, das klingt doch schon ganz anders! Warum nicht gleich so?
Es ist traurig, aber wahr: eine exklusiv-Oder-Verknüpfung mit mehr als 2 Eingängen gibt es doch (im dualen ZahlenSystem) gar nicht.
Irgendwie wird (nicht nur) in diesem Forum immer wieder vergeblich danach gesucht.
Dabei ist es so einfach. Eine Verknüpfung, die am Ausgang nur dann eine 1 liefert, wenn alle Eingänge unterschiedliche Zustände haben, das funktioniert prima bei 2 Eingängen, aber nicht bei noch mehr Eingängen, da leider nur die 2 verschiedenen Zustände 0 und 1 zur Verfügung stehen.
Selbstverständlich kann man 2 oder mehr XOR-Gatter mit je 2 Eingängen miteinander verschalten - z.B. um ein ParityBit zu bilden - aber diese Schaltungen stellen beim besten Willen keine XOR-Verknüpfung von mehr als 2 Eingängen dar.
Von den "Grund-Verknüpfungen" UND bzw. ODER ist man es gewöhnt, dass man aus zwei UND-Gattern mit je 2 Eingängen eine UND-Verknüpfung von 3 Eingängen zusammenbasteln kann und sinngemäss geht das mit ODER-Gattern auch. Aber XOR ist keine simple "Grund-Verknüpfung", sondern eine schon vergleichsweise komplexe Verschaltung von z.B. 2 Negationen + 2 UND-Gattern + 1 ODER-Gatter oder z.B. von 4 NAND-Gattern.
Betrachtet man das Exklusiv-ODER als UmkehrFunktion der Äquivalenz-Verknüpfung (nur dann 1 am Ausgang, wenn alle Eingänge denselben Zustand haben) - was bei einer Verknüpfung von 2 Eingängen ja tatsächlich auch zutrifft - dann wünscht man sich natürlich auch, dass es zu einer Äquivalenz-Verknüpfung von z.B. 3 Eingängen als UmkehrFunktion die passende Antivalenz-Verknüpfung mit 3 Eingängen gibt.
Die gibt es auch, aber die kann leider nicht als XOR-Verpnüpfung bezeichnet werden - wie oben bereits begründet.
In der Literatur findet man immer wieder Beispiele, die sich wohlweislich auf die Verknüpfung von 2 Eingängen beschränken und fast nie ausdrücklich darauf hinweisen, dass beim Versuch einer Anwendung auf 3 oder mehr Eingänge die vermeintlich klaren Begriffe Äquivalenz und Antivalenz (= XOR) plötzlich ganz schwammig werden.
Gruss, Heinileini

PS:
"Deine" Schreibweise der Formel mit "V" und dem kopfstehenden "V" fand ich immer furchtbar unübersichtlich.
Ich missbrauche lieber die ArithmetikOperatoren + (für ODER) und * (für UND), insbesondere weil es dann leicht fällt, die * nicht explizit schreiben zu müssen.
Für die Darstellung der Negation habe ich in diesem Forum das vorangestellte "/" kennengelernt (Danke Harald!!!) und prompt in mein Repertoire übernommen.

Y = X1 /X2 /X3 + /X1 X2 /X3 + /X1 /X2 X3 + X1 X2 X3 ... 12 Operanden
Y = X1 (/X2 /X3 + X2 X3) + /X1 (X2 /X3 + /X2 X3) ... 10 Operanden

Mit ...
(X2 /X3 + /X2 X3) = X2 # X3 (mit "#" für XOR)

(/X2 /X3 + X2 X3) = /(X2 /X3 + /X2 X3) = /(X2 # X3)

... erhält man ...
Y = X1 /(X2 # X3) + /X1 (X2 # X3)
Y = X1 # (X2 # X3) = X2 # (X3 # X1) = X3 # (X1 # X2) = X1 # X2 # X3 ... mit 2 kaskadierten XORs und 3 Operanden​

Also gibt es doch XOR mit 3 oder mehr Eingängen?
Im Prinzip Ja, oder soll ich die Frage lieber mit einem klaren Jain beantworten? Die Verknüpfung gibt es, aber sie entbehrt dann jeglicher Grundlage, ihren Namen "Exklusiv-ODER" zu rechtfertigen ;o)
​

​

​

 

[Heinileini]

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Hello lit[t]legerman,

ich wollte Dich schon beschuldigen, die Zeichen ⋀ und ⋁ genau vertauscht in Deiner Formel benutzt zu haben, also ⋀ für ODER und ⋁ für UND. Dann musste ich feststellen, dass es bei dieser Formel - oh Wunder - völlig egal ist. Sie bleibt einfach richtig!

​

​

Y = (X1 ⋁ ¬X2 ⋁ ¬X3) ⋀ (¬X1 ⋁ X2 ⋁ ¬X3) ⋀ (¬X1 ⋁ ¬X2 ⋁ X3) ⋀ (X1 ⋁ X2 ⋁ X3)
ist genau so zutreffend wie
Y = (X1 ⋀ ¬X2 ⋀ ¬X3) ⋁ (¬X1 ⋀ X2 ⋀ ¬X3) ⋁ (¬X1 ⋀ ¬X2 ⋀ X3) ⋁ (X1 ⋀ X2 ⋀ X3)

Aber ich bleibe (hartnäckig) dabei, diese Schreibweise ist mir zu unübersichtlich UND insbesondere zu mühsam (nein, ich bin nicht faul, ich bin nur im EnergieSparModus ;o)

Gruss, Heinileini

 

[PN/DP]

Hello lit[t]legerman,

ich wollte Dich schon beschuldigen, die Zeichen ⋀ und ⋁ genau vertauscht in Deiner Formel benutzt zu haben, also ⋀ für ODER und ⋁ für UND.

Heinrich Du hast recht, ich habe ebenfalls in der Formel von litlegerman das V als UND und das Λ als ODER interpretiert (weil seine Formel dann dem "natürlichen" Vorlesen der Wahrheitstabelle so nahe kommt) und diese Schreibweise ohne genaue Nachprüfung übernommen, weil ich diese Schreibweise mit Λ und V auch nicht mag (eben wegen der zu hohen Verwechslungsgefahr der Operatoren).

Üblich sind diese Zeichen:

UND   : Λ  *
ODER  : V  +
NICHT : ¬  ~ /

https://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra
Boolesche Ausdrücke vereinfachen

Harald

 

[Heinileini]

... weil ich diese Schreibweise mit Λ und V auch nicht mag (eben wegen der zu hohen Verwechslungsgefahr der Operatoren). ,,,

Moin Harald!
Es gibt dafür eine Eselsbrücke: ⋀ wie der AnfangsBuchstabe von AND und ⋁ wie der AnfangsBuchstabe von vel (lat. u.a. für ODER).

Ich hatte im letzten Jahrtausend mal eine Phase, da habe ich (auf der Schreibmaschine - weisst Du noch, was das ist? ;o) die GrossBuchstaben A und V dafür benutzt bzw. missbraucht - fand ich nübel (= nicht übel, angelehnt an NAND und NOR), aber nur, bis ich darauf kam, * und + zu verwenden bzw. + zu verwenden und * wegzulassen. Schliesslich spricht man ja auch von logischer Multiplikation und logischer Addition.
Das "/" für Negation habe ich erst von Dir gelernt und ganz schnell adoptiert!!!
Gruss, Heinileini​

 

[litlegerman]

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Ihr habt natürlich recht ich habe dir formel umgestellt, also so wie ihr es angebt. Aber trotzdem danke