Gedankenspiele zum Feierabend

Eddy001

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Noch ein kleines Gedankenspiel zum Feierabend:

Die Runde einer Rennstrecke ist 1 km lang. Mit dem Auto soll Fritz in zwei Runden eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h erreichen.
In der ersten Runde hat er aber nur durchschnittlich 40 km/h geschafft.
Wie schnell muss Fritz in der zweiten Runde fahren, um noch auf insgesamt 60 km/h zu kommen?
 

Gerhard Bäurle

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Noch ein kleines Gedankenspiel zum Feierabend:

Die Runde einer Rennstrecke ist 1 km lang. Mit dem Auto soll Fritz in zwei Runden eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h erreichen.
In der ersten Runde hat er aber nur durchschnittlich 40 km/h geschafft.
Wie schnell muss Fritz in der zweiten Runde fahren, um noch auf insgesamt 60 km/h zu kommen?

Zwar erst verspätet Mittagspause, aber 120 km/h, das muss erfahren.
 

Gerhard Bäurle

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Wem die 120 km/h zu schnell waren, hier eine andere Frage:

Ich habe zu Hause ein sehr merkwürdiges Buch. Auf der
ersten Seite finden wir einen einzigen Satz, der heißt
„In diesem Buch steht genau ein wahrer Satz.“ Auf der
zweiten Seite steht: „In diesem Buch stehen genau zwei
wahre Sätze.“ Auf der dritten Seite kann man lesen „In
diesem Buch stehen genau drei wahre Sätze.“ Und auf
der hundertsten Seite steht „In diesem Buch stehen
genau 100 wahre Sätze.“ So geht es noch lange weiter,
denn es ist ein ganz dickes Buch. Ich frage mich: Wie
viele wahre Sätze stehen denn tatsächlich in diesem Buch?
 

Sockenralf

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Hallo,
Wem die 120 km/h zu schnell waren, hier eine andere Frage:

Ich habe zu Hause ein sehr merkwürdiges Buch. Auf der
ersten Seite finden wir einen einzigen Satz, der heißt
„In diesem Buch steht genau ein wahrer Satz.“ Auf der
zweiten Seite steht: „In diesem Buch stehen genau zwei
wahre Sätze.“ Auf der dritten Seite kann man lesen „In
diesem Buch stehen genau drei wahre Sätze.“ Und auf
der hundertsten Seite steht „In diesem Buch stehen
genau 100 wahre Sätze.“ So geht es noch lange weiter,
denn es ist ein ganz dickes Buch. Ich frage mich: Wie
viele wahre Sätze stehen denn tatsächlich in diesem Buch?
Ich würde sagen, daß nur der Satz auf Seite 1 wahr ist --> nur ein wahrer Satz

MfG
 

Perfektionist

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In einem Behälter sind neun Liter Wasser und darin ein Liter Farbe gelöst. Der Inhalt des Behälters wird ständig kräftig durchmischt. Es geht ein sehr dünnes Schläuchlein in den Behälter rein, ein weiteres Schläuchlein lässt das, was in den Behälter reinfließt wieder abfließen.

Wenn nun zehn Liter Wasser langsam in den Behälter reinfließen und zehn Liter Farbmischung ebenso langsam abfließen, wie viel Farbe befindet sich danach im Behälter bzw. wie viel wurde herausgespült?
 

-ASDF-

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In einem Behälter sind neun Liter Wasser und darin ein Liter Farbe gelöst. Der Inhalt des Behälters wird ständig kräftig durchmischt. Es geht ein sehr dünnes Schläuchlein in den Behälter rein, ein weiteres Schläuchlein lässt das, was in den Behälter reinfließt wieder abfließen. Wenn nun zehn Liter Wasser langsam in den Behälter reinfließen und zehn Liter Farbmischung ebenso langsam abfließen, wie viel Farbe befindet sich danach im Behälter bzw. wie viel wurde herausgespült?
Verbleibende Farbe: (gerundet) 0,35l ???
 

zotos

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Verbleibende Farbe: (gerundet) 0,35l ???

So ein ähnliches Ergebnis habe ich auch kommt halt darauf an was man als Langsam versteht bzw. in welchem Raster man rechnet.

Ich komme bei 0,1L Stufen auf eine Restfarbemenge von 0,36237202L
Wenn ich die Stufen auf 0,01 reduziere bleibt 0,368063488L Farbe in der Mischung.

Leider habe ich in Mathe gepennt und kann solche Aufgaben nur in Excel oder mit einer Forschleife lösen.



PS: Ein glück geht der Rauchmelder ich hatte bei dem Lösungsversuch die Pfanne auf dem Herd vergessen :roll:
 

Perfektionist

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Der exakte Wert ist 0,367879441 (soweit mein Taschenrechner rechnet). Ihr seid also an der richtigen Lösung bereits recht nah dran.

klar - alles idealisiert gerechnet.

Ich bin mal gespannt, ob jemand hier einen Weg zur exakten Lösung präsentieren kann.
 

Thomas_v2.1

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Ich versuch mal ob ich das noch zusammenbekomme...

Die Gesamtmenge im Behälter (10 Liter) bleibt gleich und es fließt auch keine Farbe zu.

Wenn man Zeitintervalle mit v = 1 Liter Abfluss Farbmischung pro Intervall nimmt gibt das:
Q(0) = 1
Q(1) = Q(0) - Q(0) * v / Gesamtvolumen
Q(1) = 1 - 1 * 1 / 10
Q(1) = 0.9
Q(2) = Q(1) - Q(1) * v / Gesamtvolumen
Q(2) = 0.9 - 0.9 * 1 / 10
Q(2) = 0.9 - 0.09
Q(2) = 0.81
Q(3) = Q(2) - Q(2) * v / Gesamtvolumen
Q(3) = 0.81 - 0.81 * 1 / 10
Q(3) = 0.729
usw.

Die Farbmenge verringert sich also pro Zeitdifferenz um jeweils 1/10 der noch vorhandenen Farbmenge.
Das riecht ja schonmal stark nach e-Funktion (wie Zottel letztens schrieb, die Änderung entspricht dem Funktionswert an der Stelle).

Als Differentialgleichung wäre das dann
Q'(t) = -1/10 * Q(t)

Es gibt nur eine Funktion für die gilt f'(t) = a*f(t), und das ist die Exponentialfunktion f(t) = e^(a*t)

Also ist
f(t) = e^(-1/10 * t)

Für t sei 10 eingesetzt:
f(t) = e^(-1/10 * 10)
f(t) = e^(-1)
f(t) = 0,3678794411
 

Oberchefe

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und was passiert mit Deiner Rechnung wenn zu Beginn 1,5 Liter Farbe auf 8,5 Liter Wasser (bei 10 Liter Wasserzufluss) kommen?
 

Gerhard Bäurle

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...
Als Differentialgleichung wäre das dann
Q'(t) = -1/10 * Q(t)

Es gibt nur eine Funktion für die gilt f'(t) = a*f(t), und das ist die Exponentialfunktion f(t) = e^(a*t)

Also ist
f(t) = e^(-1/10 * t)

Für t sei 10 eingesetzt:
f(t) = e^(-1/10 * 10)
f(t) = e^(-1)
f(t) = 0,3678794411

Hallo,

wer das selbst berechnen will:

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Facharbeitenpdf/FacharbeitJStr.pdf

PS: Mir ist das nicht gelungen :cool:.
 

Thomas_v2.1

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und was passiert mit Deiner Rechnung wenn zu Beginn 1,5 Liter Farbe auf 8,5 Liter Wasser (bei 10 Liter Wasserzufluss) kommen?

Eigentlich gehörte hier:
f(t) = e^(-1/10 * t)

noch die Startmenge Q0 mit hinein. Da diese in der Aufgabe von Perfektionist 1 ist habe ich die weggelassen.

Für Q0 = 1,5 Liter:
f(t) = Q0 * e^(-1/10 * t)
f(10) = 1,5 * e^(-1/10 * 10)
f(10) = 0,55181916

Wenn man sich die Werte in Excel diskret berechnet kann man sich in einer extra Spalte die Differenzen der Werte anzeigen lassen.
Ein aus diesen Werten erstelltes Diagramm mit der Änderung auf einer logarithmisch skalierten Y-Achse ergibt eine fallende Gerade.
Die Steigung dieser Geraden bei verschiedenen Startmengenverhältnissen ist immer gleich, sie wird nur auf der X-Achse parallelverschoben.
 

Gerhard Bäurle

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Eine Milliarde ist eine Eins mit neun Nullen.

Diese Zahl soll als Produkt zweier natürlichen
Zahlen geschrieben werden. 1.000 x 1.000.000
stimmt zwar, ist aber viel zu einfach.

Deshalb werden zwei Zahlen gesucht, in denen
keine Null vorkommt ...
 
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