Kombinatorik

[Ali94]

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Wie berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten, wenn man 7 Flaschen auf 3 Kästen verteilt, wobei der erste Kasten nur 2 Flachen, der zweite Kasten nur 3 Flaschen, der dritte Kasten nur 4 Flachen aufnehmen kann?

Durch reines grübeln, würde ich auf 6 Möglichkeiten kommen, ich weiß jedoch nicht wie man dies berechnen könnte.

 

[Thomas_v2.1]

Sind die Flaschen unterscheidbar (z.B. 7 verschiedene Biersorten) oder alle identisch?
Muss zwingend in jedem Kasten mindestens eine Flasche vorhanden sein?

 

[Thomas_v2.1]

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Wenn die Flaschen verschieden sind (Reihenfolge relevant), und nicht unbedingt in jedem Kasten eine Flasche stehen soll, kann man die Kästen auch ignorieren.

Dann vereinfacht sich das auf eine Reihe von 9 Stellplätzen auf denen du 7 verschiedene Elemente (die Flaschen) platzieren kannst.
Für die 1. Flasche hast du dann 9 Plätze zur Auswahl, für die 2. Flasche 8 Plätze, für die 3. 7 usw. und für die letzte noch 3 Plätze.

Also 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 = 181440 Möglichkeiten.

Allgemein ist die Formel dafür: n! / (n-k)!
mit n = 9 Plätze und k = 7 Flaschen.

Das Ausrufezeichen steht für die mathematische Funktion Fakultät.



Ist die Reihenfolge der Flaschen nicht relevant, dann sind es noch
n! / ( k! * (n-k)!)
Möglichkeiten

9! / (7! * (9-7)!)
= 36 Möglichkeiten



Soll nun in jedem Kasten mindestens eine Flasche sein und die Reihenfolge der Flaschen ist nicht relevant, dann kannst du das Problem herunterbrechen auf das Verteilen von 4 Flaschen auf 3 Kisten mit 1, 2 und 3 Plätzen.
Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten wieder:

n! / ( k! * (n-k)!)

mit
n = 6 Plätze und k = 4 Flaschen

6! / (4! * (6-4)!)
= 15 Möglichkeiten

 

[Ali94]

Also die Flaschen sind nicht unterscheidbar, aber die Behälter nach ihrer Größe.
Ich komme nur auf 6 oder hat noch jemand andere Aufteilungen?

Verteilung:
K1: K2: K3:
2 3 2
1 3 3
2 2 3
2 1 4
1 2 4
0 3 4

 

[Thomas_v2.1]

Meine Anzahl macht unterscheidet auf welchem Platz in der Kiste die Flasche steht wenn ein oder mehr Plätze frei sind. Darum habe ich dahingehend mehr.
Also bei 2 Plätzen und einer Flasche gibt es 2 Möglichkeiten, du rechnest nur eine Möglichkeit.
Wobei man dann auch noch beachten müsste, auf welchem Platz die min. 1 Flasche/Kiste gestellt wird.

 

[Thomas_v2.1]

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Ich bin mir noch nicht sicher ob es dafür eine allgemeingültige Formel gibt.
Auf jeden Fall lässt sich aber eine Obergrenze der Möglichkeiten angeben.

Wenn man die Möglichkeiten pro Kiste zählt und diese aufsteigend sortiert:
k1: 0, 1, 2 = 3
k2: 0, 1, 2, 3 = 4
k3: 0, 1, 2, 3, 4 = 5

Dann gibt es auf jeden Fall nicht mehr als nk1 * nk2 Möglichkeiten.

Weil, wenn man sich die Varianten auflistet:

Kiste k1  k2  k3  Summe
-----------------------
1:    0   0   0   = 0
2:    0   0   1   = 1
3:    0   0   2   = 2
4:    0   0   3   = 3
5:    0   0   4   = 4
-----------------------
6:    0   1   0   = 1
7:    0   1   1   = 2
...

dann sieht man, dass es pro Block maximal eine Lösung geben kann. Und die Anzahl der Blöcke ist nk1 * nk2.
D.h. bei deiner Variante gibt es nicht mehr als 12 Lösungen

Hat man z.B. eine Kiste mit k1=10, k2=20, k3=30 Plätzen und ich möchte 20 Flaschen unterbringen, dann kann ich dir damit sagen dass es nicht mehr als
nk1 * nk2 = 11 * 21 = 231 Lösungen gibt.